^Cuervo^ ¦ a ver
^Cuervo^ ¦ si tenemos el 0
^Cuervo^ ¦ podemos decir que 1=s(0)
^Cuervo^ ¦ y que 2=s(1)=s(s(0))
^Cuervo^ ¦ y así por inducción
^Cuervo^ ¦ eso nos garantiza que existen todos los números naturales
^Cuervo^ ¦ pero......
^Cuervo^ ¦ no nos garantiza que exista N
Tabernero_ ¦ ¿qué es s(0)?
NuezMoscada ¦ pero seguro que el teorema de inducción usa el axioma del infinito
NuezMoscada ¦ el que sigue al cero
^Cuervo^ ¦ porque N tiene infinitos elementos pero cualquier número natural tiene un número finito
^Cuervo^ ¦ me comprendes?
NuezMoscada ¦ el sucesor
^Cuervo^ ¦ A ver
^Cuervo^ ¦ Tabernero_
^Cuervo^ ¦ se dice sucesor de un conjunto A al conjunto U {A,{A}}, cuya existencia garantiza el axioma del par y el de la gran unión
^Cuervo^ ¦ Dicho de otra forma, dado un conjunto A, su sucesor es aquel que tien por elementos, los elementos de A, y elpropio A
^Cuervo^ ¦ por ejemplo
^Cuervo^ ¦ si 0=vacío
^Cuervo^ ¦ s(0)={0}
^Cuervo^ ¦ s({0})={0,{0}}
Tabernero_ ¦ pues no lo veo
^Cuervo^ ¦ A ver
Tabernero_ ¦ ¡eso está definido en qué tipo de conjuntos?
^Cuervo^ ¦ más fácil
Tabernero_ ¦ *¿
^Cuervo^ ¦ si A={1,2,3} entonces s(A)={1,2,3,{1,2,3}}
^Cuervo^ ¦ s(s(A))={1,2,3,{1,2,3},{1,2,3,{1,2,3}}}
Tabernero_ ¦ ¿y si A es R?
^Cuervo^ ¦ Pues su sucesor será aquel conjunto que tiene por elementos, cualquier número real, y además el propio R
Tabernero_ ¦ pero... a ver si nos entendemos....
Tabernero_ ¦ o a ver si me entiendo yo...
Tabernero_ ¦ si, por ejemplo.... tratásemos de encontrar un subconjunto numerable en R....
Tabernero_ ¦ ¿esa función "sucesor" nos serviría?
^Cuervo^ ¦ Bueno
^Cuervo^ ¦ Si tienes en cuenta que 0€R
^Cuervo^ ¦ y que para cualquier r€R r+1€R
Tabernero_ ¦ ya ya
^Cuervo^ ¦ Es que claro
Tabernero_ ¦ evidentemente R tiene subconjuntos numerables
^Cuervo^ ¦ Piensa que un número real es un conjunto de infinitos racionales
Tabernero_ ¦ ya ya
Tabernero_ ¦ pero no veo eso del sucesor
Tabernero_ ¦ lo de R es sólo un ejemplo
^Cuervo^ ¦ Bueno eso discutiamos el otro día precisamente
^Cuervo^ ¦ que la idea de sucesor puede presentarse de distintas formas
^Cuervo^ ¦ en la aritmética de peano
^Cuervo^ ¦ el sucesor de un natural n era n+1
Tabernero_ ¦ ya
^Cuervo^ ¦ por eso te lo he puesto así
NuezMoscada ¦ [Tabernero_] pero con R sería muy fácil porque puedo ir sacando elementos de forma concreta, cogiendo por ejemplo un r+1, pero en lo que comentamos tenemos simplemente un conjunto infinito, sin relación de orden ni nada
Tabernero_ ¦ pero antes definías sucesores de conjuntos
^Cuervo^ ¦ pero lo que si es claro
Tabernero_ ¦ ya lo sé NuezMoscada....
Tabernero_ ¦ sólo pretendo entender lo del sucesor
Tabernero_ ¦ si es algo predefinido...
Tabernero_ ¦ o algo que depende de cada caso
^Cuervo^ ¦ A ver
^Cuervo^ ¦ la idea de sucesor que te he dado
^Cuervo^ ¦ normalmente se usa para construir los ordinales
^Cuervo^ ¦ y entre ellos los naturales claro
^Cuervo^ ¦ a partir de la axiomatica de conjuntos
^Cuervo^ ¦ pero Una Vez tienes N
^Cuervo^ ¦ Z es una clase de equivalencia en N X N
  ^Cuervo^ ¦ y çq una calse de equivalencia en Z X Z
^Cuervo^ ¦ Q digo
^Cuervo^ ¦ Y R es en realidad un subconjunto de P(Q)
^Cuervo^ ¦ entonces
^Cuervo^ ¦ en estos conjuntos, normalmente se define la idea de sucesor con las operaciones aritméticas que se definen a partir de las de las propiedades de los numeros naturales
^Cuervo^ ¦ de forma que el sucesor de un número es z+1 o q+1 o r+1
^Cuervo^ ¦ me comprendes?
Tabernero_ ¦ claro... hasta ahí sí...
^Cuervo^ ¦ A ver
^Cuervo^ ¦ para entendernos
^Cuervo^ ¦ la importancia que tiene la idea de sucesor
Tabernero_ ¦ estoy probando aparte...
Tabernero_ ¦ creo que ya lo entiendo....
^Cuervo^ ¦ enrealidad es que si tienes un conjunto O que es un ordinal, entonces s(O) es también un ordinal, y además, es el ordinal más pequeño que es estrictamente mayor que O
Tabernero_ ¦ se trata de ir encontrando conjuntos que tengan un elemento más que el anterior...
^Cuervo^ ¦ A ver
^Cuervo^ ¦ mira
Tabernero_ ¦ ya
Tabernero_ ¦ lo vi
Tabernero_ ¦ ok
^Cuervo^ ¦ la construcción de los números naturales no es arbitraria
^Cuervo^ ¦ espera espera
^Cuervo^ ¦ La primera idea fué asociar un número natural con el conjunto de todos los conjuntos que tuvieran tantos elementos como ese natural representa ok?
^Cuervo^ ¦ Pero como f´ñacilmente verás eso no sirve, ya que ese conjunto nunca es un conjunto, sinó una clase propia
^Cuervo^ ¦ osea que hubo que ir por otro camino
^Cuervo^ ¦ entonces se trataba de obtener para cada número natural, un conjunto que fuera su representante canónico
^Cuervo^ ¦ de tal forma que todo conjunto que pudiera biyectarse con ese conjunto tuviera de cardinal ese número natural
^Cuervo^ ¦ Dicho de otra forma
^Cuervo^ ¦ el representante canónico de n tiene que tener n elementos
^Cuervo^ ¦ y solo los conjuntos que puedan biyectarse con él tienen de cardinal el número natural n
^Cuervo^ ¦ Pero no solo se tuvo eso en cuenta
^Cuervo^ ¦ ya que además, hacía falta establecer una relación de orden entre los naturales
^Cuervo^ ¦ Como establecer una relación de orden en tre conjuntos?
^Cuervo^ ¦ hay dos formas
^Cuervo^ ¦ podemos decir que si un conjunto A es elemento de otro conjunto B B es mayor que A, porque el todo es mayor que las partes
^Cuervo^ ¦ O también podemos decir que si un conjunto A está incluido en B entonces B es mayor que A por el mismo razonamiento
^Cuervo^ ¦ Ambos criterios son válidos, y de hecho, como verás equivalentes
^Cuervo^ ¦ osea
^Cuervo^ ¦ que por ejemplo el representante canónico del número 3 debía ser un conjunto con 3 elementos y tener como elementos al 0 al 1 y al 2
^Cuervo^ ¦ osea 3={0,1,2}
^Cuervo^ ¦ de igual forma
^Cuervo^ ¦ el 5 tenía que tener 5 elementos y tener como elementos al 0,1,2,3,4
^Cuervo^ ¦ osea 5={0,1,2,3,4}
^Cuervo^ ¦ ahora bién
^Cuervo^ ¦ hay un número natural que no presenta discusión y es el 0
^Cuervo^ ¦ su representante canónico solo puede ser el conjunto vacío
^Cuervo^ ¦ osea que apartir de ahora cuando pongamos 0 es el conjunto vacío
^Cuervo^ ¦ pero entonces el 1 tiene que ser {0}
^Cuervo^ ¦ osea un conjunto con 1 elemento y que tiene al 0 por elemento
^Cuervo^ ¦ no hay otra opción solo puede ser {0}
^Cuervo^ ¦ y el 2?
^Cuervo^ ¦ pues tiene que ser un conjunto con 2 elementos que tiene al 0 y al 1 como elementos osea
^Cuervo^ ¦ 2={0,{0}}
^Cuervo^ ¦ y el 3?
^Cuervo^ ¦ Pues deberá ser 3={0,{0},{0,{0}}}
^Cuervo^ ¦ y así sucesivamente
^Cuervo^ ¦ entiendes?
Tabernero_ ¦ sip
Tabernero_ ¦ lo pillo
^Cuervo^ ¦ bién
^Cuervo^ ¦ pues resulta que
^Cuervo^ ¦ 1=s(0)
^Cuervo^ ¦ 2=s(1)
^Cuervo^ ¦ 3=s(2)
^Cuervo^ ¦ siendo sucesor el sucesor de la forma que te he definido
^Cuervo^ ¦ fijate que
^Cuervo^ ¦ s(0)={0}=1
^Cuervo^ ¦ s({0})={0,{0}}=2
^Cuervo^ ¦ etc....
^Cuervo^ ¦ Además
^Cuervo^ ¦ resulta que
^Cuervo^ ¦ construidos así los números naturales
^Cuervo^ ¦ no solo se cumple que si n<m entonces n€m sinó que además n está incluido en m
^Cuervo^ ¦ osea que la inclusión y la pertenencia se dan
^Cuervo^ ¦ osea que es perfecto para nuestra relación de orden
^Cuervo^ ¦ y siguiendo este procedimiento, definirías lo que es un ordinal
^Cuervo^ ¦ y verías que además de los naturales hay más ordinales
^Cuervo^ ¦ y el sucesor de un ordinal también es un ordinal
^Cuervo^ ¦ y los cardinales son solo un tipo de ordinales, aquellos que no pueden biyectarse con ninguno de sus elementos
^Cuervo^ ¦ Pero bueno
^Cuervo^ ¦ los cardinales y ordinales requieren una explicación algo más detallada para comprenderlos bién
NuezMoscada ¦ lo has explicado muy bien cuervo
NuezMoscada ¦ yo creo que eso se podría copiar del log y ponerlo como un artículo
^Cuervo^ ¦ bueno, lástima que explicar los ordinales sea máscomplejo
NuezMoscada ¦ sí, pero con lo que has explicado hay de sobra
^Cuervo^ ¦ porque ahí es donde la cosa empieza a ponerse divertida

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