Charla sobre el concepto de cardinal por ^Cuervo^. |
Cuervo | Que os parece esto?
Cuervo | Todo conjunto no vacío, contiene algún elemento, con el que no comparte ningún elemento
RadiKal2_ | ?
Cuervo | Es el axioma de regularidad RadiKal2_
RadiKal2_ | no entiendo
RadiKal2_ | que no comparte ningun elemento con que?
Cuervo | Osea, todo conjunto que no és vacio
Cuervo | Tiene un elemento
RadiKal2_ | si
Cuervo | con el que no comparte ningún elemento
RadiKal2_ | eh?
Cuervo | A ver
Cuervo | conjunto y elemento no son cosas distintas en realidad
Cuervo | cuando dices que A€B
Cuervo | Lo que quieres decir és que el conjunto A és un elemento del conjunto B
Cuervo | Pero ambos, A y B son conjuntos
RadiKal2_ | aaahh vale
Cuervo | Entonces un conjunto puede tener elementos con los que comparte elementos
RadiKal2_ | uf, es que no estoy muy metido en teoria de conjuntos
RadiKal2_ | por eso no entendia la comparacion de elementos con conjuntos
Cuervo | Conoces el axioma del par?
RadiKal2_ | no
RadiKal2_ | al menos no con ese nombre
RadiKal2_ | si me lo enuncias igual si
Cuervo | Es fácil, dice que dados dos conjuntos A y B cualesquiera existe el conjunto {A,B}
Cuervo | osea existe un conjunto que tiene como únicos elementos a esos dos conjuntos
RadiKal2_ | ah, pues no lo conocia
Cuervo | Pues el axioma del par y el de regularidad juntos sirven para que no existan conjuntos patologicos que sean elementos de si mismos por ejemplo
RadiKal2_ | pero se ve
RadiKal2_ | obvio
RadiKal2_ | xD
RadiKal2_ | bueno, por eso es un axioma supongo xD
Cuervo | por ejemplo si A€B y B€A que sería algo rarillo, entonces el conjunto {A,B} no cumpliría el axioma de regularidad
RadiKal2_ | entiendo
Cuervo | Y si A€A entonces el conjunto {A} tampoco cumple el axioma de regularidad, luego tampoco es posible que un conjunto sea elemento de si mismo
Cuervo | Y cosas así
Cuervo | O sea en general evita que A€B, B€C, C€D y D€A y cosas así
RadiKal2_ | aja
Cuervo | Y es importante cuando de ordinales se trata, ya que en los ordinales la relación de orden se establece a través de la relación de inclusión o de pertenencia
RadiKal2_ | que son los ordinales?
Cuervo | Buena pregunta
RadiKal2_ | jajaja
Cuervo | la definición es muy curiosa
RadiKal2_ | se que son los cardinales pero ordinales ni idea
Cuervo | y algo liosa así a primeras
Cuervo | Seguro que sabes lo que son cardinales?
RadiKal2_ | bueno
RadiKal2_ | intuitivamente al menos
Cuervo | Porque es mucho peor definir los cardinales que los ordinales
RadiKal2_ | xD
Cuervo | Pero bueno vamos por los ordinales
RadiKal2_ | porque con los líos que se meten los que se dedican a esto
Cuervo | a ver
Definición de conjunto transitivo y conjunto ordinal
Cuervo | Un conjunto A se dice que es transitivo si para cualquier X, si X€A a A, entonces X incluido en A
Cuervo | o sea, si cualquier elemento de sus elementos es a su vez elemento de A
RadiKal2_ | ok
Cuervo | bién
Cuervo | Pues un conjunto O , és un ordinal, si y solamente sí, es transitivo, y todos sus elementos también lo son
Cuervo | Que mareo no?
Cuervo | :))
RadiKal2_ | si xD
RadiKal2_ | a ver, espera
Cuervo | Pero bueno
RadiKal2_ | si, es una definicion un tanto rara xD
Cuervo | ahora para comprenderlo mejor
RadiKal2_ | xD
RadiKal2_ | eso, a ver
Cuervo | tenemos que ver de donde viene y el porque de esa definición ok?
Cuervo | Veamos
RadiKal2_ | ok
Cuervo | En teoría axiomática, los únicos elementos primitivos son los conjuntos
Cuervo | O sea que cuando por ejemplo queremos hablar de un número natural, tenemos que definirlo a partir del concepto de conjunto
Cuervo | O sea un número natural en última instancia a de ser representado con un conjunto
RadiKal2_ | aja
Cuervo | Y además, tenemos que hacer esa representación de forma que de forma natural podamos establecer un orden entre los distintos números naturales
Cuervo | Dados dos conjuntos A y B, que significado podría tener que A<B, por ejemplo?
RadiKal2_ | aja
Cuervo | Dime que crees que puede querer decir que un conjunto és mayor que otro?
RadiKal2_ | mmm
RadiKal2_ | que uno incluye al otro?
Cuervo | Bién
Cuervo | Que uno incluya al otro
Cuervo | o bién
Cuervo | que uno sea elemento del otro
Cuervo | Es decir
Cuervo | el todo es mayor que las partes
RadiKal2_ | si
Cuervo | Si un conjunto es parte de otro
Cuervo | Entonces es menor que el
Cuervo | Bién
Cuervo | Pero fijate
Cuervo | Eso quiere decir
Cuervo | que si tenemos determinado conjunto que representa al número 7, entonces los conjuntos que representan a los números 0,1,2,3,4,5 y 6, deberían ser elementos y estar contenidos en dicho conjunto
RadiKal2_ | si
Cuervo | Entonces, todo número natural, debería ser un conjunto que tiene por elementos a todos los números naturales menores que él
RadiKal2_ | claro
Cuervo | bien
Cuervo | empecemos entonces
Cuervo | Solo hay un conjunto que pueda representar al número 0, y es el conjunto vacío, de acuerdo en eso?
Metaleer | Pero... el conjunto vacío es que es vacío, no tiene elementos... ni el 0 ni nada, o estoy liándola/
Metaleer | ?
RadiKal2_ | si, de acuerdo
Cuervo | bién
RadiKal2_ | [ Metaleer ] estamos construyendo los naturales a partir de conjuntos xD
Cuervo | entonces el número 1={0} (0 és el vacío)
RadiKal2_ | si
Metaleer | RadiKal2_... ah...
Cuervo | porque 0<1
Cuervo | el número 2={0,{0}}
Cuervo | osea, un conjunto que tiene por elementos al 0 y al 1
RadiKal2_ | claro
RadiKal2_ | ya veo como va
Cuervo | muy bién
Cuervo | y el 3={0,{0},{0,{0}}}
Cuervo | o sea un conjunto que tiene por elementos al 0 al 1 y al 2
Cuervo | etc....
Cuervo | la existencia de dichos conjuntos queda garantizada por el axioma del par y de la gran unión
Cuervo | Es decir, esos conjuntos realmente existen y se pueden construir mediante los axiomas de conjuntos
RadiKal2_ | cual es el de la gran union?
Cuervo | El axioma de la gran unión, dice
Cuervo | Que dado un conjunto A cualesquiera, existe el conjunto UA, que tiene por elementos, a todos los elementos de los elementos de A
Cuervo | por ejemplo
Cuervo | si A={{1,2,3},{a,b}} entonces UA={1,2,3,a,b}
RadiKal2_ | bien, entiendo el axioma este
Cuervo | en el caso de los naturales
Cuervo | se procede de la siguiente forma
Metaleer | Que dado un conjunto A cualesquiera, existe el conjunto UA, que tiene por elementos, a todos los elementos de los elementos de A
Metaleer | Eso en mi pueblo... se llama Axioma de Pero Grullo.
Cuervo | tenemos un axioma que nos garantiza la existencia del conjunto vacio
RadiKal2_ | bien
Cuervo | y si existe 0, entonces por el axioma del par, también existe {0}, de acuerdo?
RadiKal2_ | [Metaleer] por eso son axiomas
RadiKal2_ | si
Cuervo | y si existen 0 y {0} volvemos a aplicar el axioma del par y tenemos {0,{0}}=2
Cuervo | en general
Cuervo | Si N represnta un número natural entonces el siguiente número natural será {N,UN}
Cuervo | osea
Cuervo | 8={7,U7} por ejemplo
Cuervo | como existe 7 existe U7 y como ambos existen por el axioma del par existe 8
Cuervo | De acuerdo hasta aquí RadiKal2_?
RadiKal2_ | si, de acuerdo
Cuervo | Bién
RadiKal2_ | no es complicado
Cuervo | pues ahora fijate
Cuervo | Todos los numeros naturales así construidos son ordinales
Cuervo | Según la definición que dimos anteriormente
Cuervo | Todos ellos son transitivos
Cuervo | y como sus elementos son todos ellos a su vez numeros naturales, también lo son
RadiKal2_ | si
Cuervo | Osea que todo número natural és un ordinal
RadiKal2_ | entonces, los ordinales son los naturales?
Cuervo | No solo los naturales
Cuervo | porque por ejemplo
Cuervo | El propio N, también es ordinal
Cuervo | y {N,UN} también
Cuervo | y así sucesivamente podemos crear muchas más
RadiKal2_ | claro, ya veo
Cuervo | e incluso establecer operaciones entre ellos
Cuervo | osea todo natural es un ordinal, pero no todo ordinal es un natural
RadiKal2_ | si
Cuervo | Pues esta es la base de la teoría de ordinales
Cuervo | fijate que
Cuervo | la definición que dimos antes ahora se comprende mejor
Cuervo | ya que
Cuervo | Si A>B y B>C debe ser también A>C
Cuervo | por lo tanto si C€B y B€A entonces ha de ser C€A
Cuervo | Para que nuestra relación de orden funcione como es debido
Cuervo | De ahí que un conjunto es transitivo si todo elemento de sus elementos es a su vez un elemento suyo
Cuervo | Y fijate que el axioma de regularidad que antes te decía, impide que A€B y B€A a la vez, osea impide que A>B y B>A al mismo tiempo
RadiKal2_ | si
Cuervo | o que A€A y sea A>A por ejemplo
Cuervo | A que es divertido?
RadiKal2_ | jajajaja
RadiKal2_ | si, esta chulo
RadiKal2_ | no es tan dificil como pensaba
Cuervo | Pues esto és la base de la teoría de ordinales
Cuervo | Bueno
Cuervo | si quieres algo un poco más difícil
Cuervo | Trata de demostrar lo siguiente
RadiKal2_ | uff, no se para que digo nada xD
Cuervo | Si A y B son dos ordinales distintos o bién A€B, o bién B€A
Cuervo | No lo digo para que lo demuestres ahora
Cuervo | Pero si quieres piénsalo cuando tengas un rato
Cuervo | Verás que no es tan fácil como parece demostrarlo
RadiKal2_ | ya lo pensare cuando no tenga nada que hacer
RadiKal2_ | hombre, obvio es
Cuervo | Pues por obvio que parezca, no es tan fácil de demostrar como parece
Cuervo | Si quieres te doy una lista de las propiedades de los ordinales, que son divertidas de demostrar
RadiKal2_ | buf
RadiKal2_ | pero
RadiKal2_ | si no conozco los axiomas de la teoria de conjuntos
RadiKal2_ | poco podre hacer
RadiKal2_ | xD
Cuervo | bueno
Cuervo | ahí van los axiomas
Cuervo | ok?
Cuervo | jajaja
Cuervo | solo son 10
Cuervo | algunos ya los conoces además
RadiKal2_ | venga va
Los axiomas de Zermelo - Fraenkel
Cuervo | Primero
Cuervo | Axioma de extensión
Cuervo | Dos conjuntos son iguales sí y solamente sí tienen los mismos elementos
Cuervo | Ese lo sabías a que sí?
RadiKal2_ | si
Cuervo | bién
Cuervo | ya tenemos uno
Cuervo | Pasemos al segundo
Cuervo | Axioma del conjunto vacío
Cuervo | Existe un conjunto que no tiene ningún elemento
Cuervo | Ese también lo sabías no?
RadiKal2_ | si, esos si
Cuervo | ok
Cuervo | El tercero
boconcino ¦ hay una estructuta topológica, los ultrafiltros creo qeu se llaman, que son una generalización de los ordinales. Las propiedades de ultrafiltros se pueden aplicar a los ordinales.
Cuervo | Axioma de especificación
Cuervo | Dado un conjunto A y una propiedad, existe el conjunto B formado por aquellos elementos de A que cumplen dicha propiedad
Cuervo | Ese seguramente también lo conocías
Cuervo | por ejemplo
boconcino ¦ lo importante de este axioma es que parte de un conjunto A que ya existe. De esta manera se evita la paradoja de Russell
Cuervo | Como existe N, la propiedad ser múltiplo de dos, nos asegura que existe el conjunto de los elementos de N que son múltiplos de dos, o sea el conjunto de los números pares
RadiKal2_ | si, tambien lo conocia
RadiKal2_ | si al final los conocere todos xD
Cuervo | Correcto boconcino
Cuervo | casi, casi
Cuervo | A ver
Cuervo | Cuarto
Cuervo | Axioma del par
Cuervo | Dado dos conjuntos A y B, existe el conjunto C={A,B}
Cuervo | Ese ya lo mencionamos antes también
RadiKal2_ | si
Cuervo | Me siguen?
Metaleer | Cuervo, más o menos. Es interesante.
Cuervo | Bién
Cuervo | Axioma quinto
Cuervo | El axioma de la gran unión
Cuervo | Dado un conjunto A, existe el conjunto UA, que tiene por elementos a todos los elementos de los elementos de A
Cuervo | fijémonos que lo que usualmente llamamos AUB, no és más que U{A,B}
Cuervo | así mismo
Cuervo | perdón
Cuervo | siguen ahí?
RadiKal2_ | si, aqui estoy
Cuervo | Bién
Cuervo | El sexto
Cuervo | El axioma del conjunto de las partes
Cuervo | Dado un conjunto A cualesquiera, existe el conjunto P(A), que tiene como elementos a todos los subconjuntos de A
Cuervo | El septimo
Cuervo | Axioma de regularidad
Cuervo | Todo conjunto no vacío, tiene algún elemento con el que no comparte ningún elemento
Cuervo | La utilidad del cual ya mencionamos anteriormente
Cuervo | El octavo
Cuervo | El axioma del conjunto inductivo o infinito
Cuervo | Existe un conjunto que tiene por elemento al conjunto vacío, y en el que todo elemento tiene un sucesor
Cuervo | aquí hago un inciso
Cuervo | Si tenemos un conjunto C, entonces el axioma de la gran unión nos garantiza que UC también es un conjunto y el axioma del par nos garantiza que {C,UC} también será un conjunto
Cuervo | Pues bién dado un conjunto C, su sucesor S(C)={C,UC}
Cuervo | La intersección de todos los conjuntos inductivos és N
Cuervo | Bueno nadie dice nada, alguien me sigue o se perdieron todos
RadiKal2_ | si si, te sigo
RadiKal2_ | pero en nada me voy a tener que ir
Cuervo | Bién quedan 2
Cuervo | Que son más complejos
[ajotatxe] | yo estoy leyendo, pero acabo de entrar
Cuervo | bueno, pues entonces otro día te los cuento
RadiKal2_ | hombre, buenas [ajotatxe]
RadiKal2_ | no, aun me queda tiempo
RadiKal2_ | ya me espero a que acabes
Cuervo | A ver
Cuervo | Los dos que quedan son algo complejos de entender
Cuervo | El primero és el de regulariad
Cuervo | perdón
Cuervo | El axioma de reemplazo
Cuervo | Dice que
Cuervo | Dado un conjunto A, y una función proposicional, existe el conjunto imagen de dicha función proposicional
RadiKal2_ | uff
RadiKal2_ | funcion proposicional?
Cuervo | Pues
Cuervo | imagina por ejemplo
Cuervo | el conjunto A={a,b,c}
RadiKal2_ | si
Cuervo | Y como función proposicional, aquella que relaciona a cada conjunto con el conjunto de sus partes
Cuervo | pues el axioma del reemplazo nos garantiza por ejemplo la existencia del conjunto {P(a),P(b),P(c)}
Cuervo | De ahí el nombre de reemplazo
RadiKal2_ | vale, entiendo
[ajotatxe] | y qué es una función proposicional?
Cuervo | Ya que en este caso, es como si sustituyéramos los elementos originales, por los conjuntos de sus partes
Cuervo | Esa pregunta ya es algo más compleja de responder, y es posible, que el propio [ajotatxe], sea más capaz de responderla que yo mismo
[ajotatxe] | yo no lo sé
Cuervo | a ver
Cuervo | por ejemplo
Cuervo | fijémonos que cuando por ejemplo en el axioma de especificación
Cuervo | hablamos de propiedad
Cuervo | Estrictamente estamos hablando de que esa propiedad debe expresarse con una formula valida de nuestro lenguaje formal
Cuervo | por ejemplo
Cuervo | Si A={a,b,c}
Cuervo | puedo decir que existe el conjunto C={a,b}
[ajotatxe] | bien, eso impediría formar la función "Dado un conjunto A, f(A) es el conjunto de todos los conjuntos distintos de A"
Cuervo | usando el axioma de espacificación y la formula x=a o x=b
Cuervo | ummmmm
Cuervo | Bueno para usar esa formula que dices, primero tendrías que demostrar que la imagen para cada elemento es un conjunto
Cuervo | o sea
Cuervo | en el ejemplo que yo puse eso queda garantizado por el axioma de las partes
[ajotatxe] | bien
[ajotatxe] | entiendo
Cuervo | Pero de alguna forma tiene que estar garantizado que todo elemento tiene por imagen un conjunto
[ajotatxe] | sobre todo quería saber cómo limitamos a las funciones prop. para que no salgan cosas raras
Cuervo | y que dicho conjunto queda bién especificado para cada elemento
Cuervo | Y sobretodo
Cuervo | hay que tener en cuenta que solo es valido si lo aplicamos a los elementos de un conjunto ya existente
Cuervo | como en el caso del axioma de especificación
[ajotatxe] | ok
Cuervo | sinó, podemos obtener una clase propia como en ese caso
Cuervo | Queda entonces, comprendido el axioma RadiKal2_?
RadiKal2_ | si
Cuervo | Bién
Cuervo | Pues finalmente, y para liar más las cosas
Cuervo | llegamos al más controvertido de todos
Cuervo | El famoso axioma de elección
RadiKal2_ | el de eleccion?
Cuervo | eso es
RadiKal2_ | jejeje
Cuervo | Axioma decimo
Cuervo | Axioma de elección
Cuervo | Ojo!
RadiKal2_ | uff, me tengo que ir ya o no llego
RadiKal2_ | dejo esto encendido y lo leo luego
RadiKal2_ | hasta luego!
Cuervo | Dado un conjunto A, existe una función de elección (No se especifica cual, ni como puede construirse, ahí la moraleja), que relaciona a cada elemento de dicho conjunto con uno de sus elementos (esto unido al axioma del reemplazo, permite intercambiar a cada uno de los elementos de un conjunto por uno de sus elementos)
[ajotatxe] | se supone que el vacío no pertenece a A
[ajotatxe] | no?
Metaleer | Cuervo, eso puede ser por ejemplo la operación exponenciación?
Metaleer | Y con esa definición, saber que 0^0 es 1?
[ajotatxe] | hummm
[ajotatxe] | que yo sepa la exponencial se define con series de potencias
Cuervo | Sí, perdón
Cuervo | Se supone que eso se cumple para todo elemento de A, que no sea igual al conjunto vacío
Cuervo | A ver
Cuervo | mirad
Cuervo | si queréis un ejemplo clarificador
Cuervo | Sabéis que podemos definir a Q, como una relación de equivalencia en ZXZ ok?
Cuervo | Y a su vez podemos considerar que los subconjuntos de ZXZ originados en esa relación de equivalencia, son cierto subconjunto de P(ZXZ)
Cuervo | Pues el axioma de elección se diferencia en el del reemplazo
Cuervo | En que en el del reemplazo para escoger un elemento de cada clase de equivalencia, tendríamos que especificar cual, por ejemplo la fracción irreducible, por poner un ejemplo
Cuervo | mientras que en el de elección, no haría falta especificar ninguna propiedad
Cuervo | Habeis entendido el ejemplo?
Metaleer | Sip
Cuervo | Bueno, pues el axioma de elección es el más controvertido, precisamente, porque dice que esa función de elección que a veces se necesita, cuando de conjuntos infinitos se trata, existe aún cuando no podamos construirla, ni especificar cual es digamos
[ajotatxe] | y yo
Cuervo | Es de vital importancia en la teoría de los cardinales transfinitos
[ajotatxe] | también es muy importante en álgebra conmutativa
[ajotatxe] | (de anillos)
[ajotatxe] | y en análisis funcional
Cuervo | Sí
Cuervo | Básicamente, nos asegura que, dado un conjunto infinito no numerable, este siempre tiene un ordinal y un cardinal asociado
Cuervo | Aparte de lo que menciona [ajotatxe]
Cuervo | Como que todo espacio vectorial de infinitas dimensiones tiene una base
[ajotatxe] | en realidad lo que más se usa en la práctica es el lema de Zorn, que es equivalente
Cuervo | Cierto
Cuervo | Sin embargo
Cuervo | Una cosa si creo que es importante hacer notar
Cuervo | Para conferir la propiedad del supremo a R, no nos hace falta el axioma de elección, lo cual es un descanso
Cuervo | Porque a mi en particular, el axioma de elección me escama mucho
Cuervo | No me fío de él
[ajotatxe] | pues el teorema de Hahn-Banach
[ajotatxe] | de análisis funcional
[ajotatxe] | tiene aplicaciones prácticas
[ajotatxe] | y para probarlo es necesario el lema de Zorn
Cuervo | Cual es ese teorema que no me acuerdo?
Metaleer | Todo tiene aplicaciones prácticas. Las matrices de giro y de traslación tienen uso en ing. mecánica
[ajotatxe] | dados dos espacios normados H,K
[ajotatxe] | existe una aplicación continua no nula de H en K
dj_jara ¦ [ajotatxe] cual es la diferencia entre espacio normado y espacio pre-hilbert?
Cuervo | Ajá
[ajotatxe] | [dj_jara ] no todas las normas provienen de un producto escalar
Cuervo | A mi realmente lo que me preocupa, es que aunque es muy cómodo eso de decir que todo conjunto no numerable puede bien ordenarse, yo no lo acabo de creer
[ajotatxe] | http://en.wikipedia.org/wiki/Hahn-Banach_theorem
[ajotatxe] | lo curioso del axioma de elección
[ajotatxe] | es que es necesario para cosas que parecen obvias, pero permite probar otras que cuesta creer
Cuervo | Es cierto
Cuervo | Buena observación
Cuervo | Yo diría algo así como
[ajotatxe] | también permite probar la existencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Cuervo | El axioma del reemplazo se nos queda corto, pero el axioma de elección se pasa
Cuervo | Nos falta un punto intermedio entre ambos en mi opinión
Cuervo | Ni tanto, ni tan poco
Cuervo | De hecho
Cuervo | El axioma del reemplazo
Cuervo | Lo introdujo Von Nennman
[ajotatxe] | hay
[ajotatxe] | un lema
Cuervo | Con la esperanza de que con él
[ajotatxe] | llamado el lema del ultrafiltro
[ajotatxe] | que es suficiente para probar Hahn Banach
[ajotatxe] | y lo de los conjuntos no medibles
[ajotatxe] | y no equivale al axioma de elección
[ajotatxe] | http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrafilter_lemma#The_ultrafilter_lemma
Cuervo | Implica que todo conjunto no numerable puede bien ordenarse o no?
[ajotatxe] | (no hay artículo en castellano)
[ajotatxe] | no creo
Cuervo | Te es posible decir más o menos en que consiste dicho lema?
[ajotatxe] | me parece que eso del buen orden sí equivale al axioma de elección
[ajotatxe] | traduzco de la wikipedia
Cuervo | ok
[ajotatxe] | un filtro es un conjunto X de conjuntos, cerrado para la intersección finita
[ajotatxe] | y el "superconjunto" (no sé qué es eso)
[ajotatxe] | un ultrafiltro es un filtro maximal
[ajotatxe] | lo que dice el lema
[ajotatxe] | es que dado un filtro, siempre existe un ultrafiltro maximal que lo contiene
Cuervo | ummmm
Cuervo | Bueno, eso tiene que ver con los ordinales, en el sentido de para todo ordinal, su elemento mínimo es su gran intersección
Cuervo | Ya miraré si consigo algo sobre el tema
Cuervo | y me lo miro
[ajotatxe] | la wikipedia en matemáticas en castellano es pírrica, comparada con la versión inglesa
Metaleer | La versión inglesa es 10 veces mejor en todo, sea mates o lo que sea.
Cuervo | ummmmm
Cuervo | Así a bote pronto, yo diría que todo ordinal es un filtro
[ajotatxe] | a ver
[ajotatxe] | he encontrado una definición de filtro en condiciones
Cuervo | ok
[ajotatxe] | si a,b € X
[ajotatxe] | a intersección b € x
Cuervo | ok
Cuervo | Luego lo dicho todo ordinal es un filtro, eso seguro
[ajotatxe] | bueno, empiezo por el principio
[ajotatxe] | sea X un álgebra de Boole, es decir, un conjunto de conjuntos
[ajotatxe] | sea F un subconjunto de X
[ajotatxe] | F es un filtro en X
Cuervo | ojo un algebra de boole no es solo un conjunto de conjuntos
[ajotatxe] | bueno, para el caso que nos ocupa, nos interesa un conjunto de conjuntos
[ajotatxe] | F es un filtro en X si cumple estas propiedades
[ajotatxe] | si a,b€F entonces a intersección b está en F
Cuervo | es un conjunto de conjuntos cerrado para la unión finita y el paso al complementario
Cuervo | y si es sigma algebra, cerrado para reuniones numerables también
[ajotatxe] | y si a€F , b€X y b contiene a, entonces b€F
[ajotatxe] | F es un filtro en X si cumple estas propiedades
[ajotatxe] | por ejemplo, si X={a,b,c}
[ajotatxe] | y F={{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}} entonces F es un filtro en P(X)
Cuervo | ummmm
Cuervo | o sea F es cerrado para intersecciones finitas
[ajotatxe] | en general, si x€X el conjunto F={U€P(X):x€U} es un filtro en P(X)
Cuervo | y cualquier superconjunto de un elemento de F que pertenece a X pertenece también a F no?
[ajotatxe] | eso es
[ajotatxe] | lo que dice el lema
[ajotatxe] | es que dado un filtro
[ajotatxe] | existe siempre un filtro propio maximal que lo contiene
[ajotatxe] | un filtro propio de X es un filtro de X que no es X
Cuervo | entonces será que dado un filtro propio, existe siempre otro filtro propio maximal que lo contiene no?
[ajotatxe] | eso es, sí
Cuervo | ahora bién
[ajotatxe] | y parece que un filtro F es propio si y sólo si el vacío no está en F
Cuervo | Cuando dices lema, te refieres a que eso es demostrable, o a que, se toma como propiedad axiomática como el axioma de elección?
[ajotatxe] | pues no sé
Cuervo | Bueno la definición es bastante bonita, casi como la de un ordinal
Cuervo | ummmm
[ajotatxe] | Although the various prime ideal theorems may appear simple and intuitive, they can in general not be derived from the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory (ZF).
[ajotatxe] | o sea
[ajotatxe] | no se puede deducir de ZF
Cuervo | vale,e ntonces es un axioma, al estilo del de elección
[ajotatxe] | pero es más débil que el de elección
Cuervo | Eso está bién
[ajotatxe] | no se puede probar elección con el lema de ultrafiltros
Cuervo | Es que estaba pensando que implicaciones tiene para los ordinales
Cuervo | Eso es un punto a su favor :))?
Cuervo | Pero bueno
Cuervo | Yo lo que intentaba
Cuervo | Es ver, que implicaciones tiene respecto a los ordinales
Cuervo | Osea que relación hay entre un filtro y un ordinal
[ajotatxe] | the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice, in the sense that either one together with the Zermelo-Fraenkel axioms is sufficient to prove the other
[ajotatxe] | el teorema de la buena ordenación es equivalente al axioma de elección en el sentido de que cada uno de ellos se puede probar con (el otro+ZF)
Cuervo | Sí, eso es cierto
[ajotatxe] | por tanto
[ajotatxe] | el lema de ultrafiltro
[ajotatxe] | no puede probar el teorema del buen orden
[ajotatxe] | ya que si lo probara, podría probar también el axioma de elección
Cuervo | Bién
Cuervo | Pero la pregunta és
[ajotatxe] | y eso no es así, según he leído
Cuervo | Sin probar tanto, puede probar algo que sin ser tan fuerte nos sirva para por ejemplo definir el concepto de cardinalidad para conjuntos infinitos no numerables, prescindiendo de la necesidad de tener siempre un ordinal asociado o algo así :))
Cuervo | Ese es el problema diría yo
Cuervo | Es que a ver
Cuervo | para mi un ordinal está bastante bien definido
Cuervo | El problema es como definimos un cardinal si no tenemos axioma de elección, me comprendes?
Cuervo | O sea, de la forma que en la actualidad se define un cardinal, sin axioma de elección, a parte de N, no tienes ningún otro cardinal transfinito en realidad
[ajotatxe] | estaba mirando definiciones
Cuervo | O sea sin axioma de elección tenemos que el cardinal de los numerables es N, pero que hacemos con los no numerables?
[ajotatxe] | The axiom of choice is equivalent to the statement that given two sets X and Y, either | X | <= | Y | or | Y | <= | X |.
Cuervo | Sí, el axioma de elección nos permite establecer un orden en los cardinales transfinitos sin el cual no podemos, a eso voy
[ajotatxe] | "El axioma de la elección equivale a decir que dados dos conjuntos cualesquiera, o bien |X|<=|Y|, o bien |Y|<=|X|
Cuervo | Bueno, yo diría más, no solo nos permite decir eso, sinó que nos permite decir, todo conjunto tiene un cardinal asociado aunque no podamos decir cual, lo cual es mucho más fuerte
[ajotatxe] | afortunadamente, para la mayoría de los conjuntos que se usan en matemáticas, o bien son de cardinal N o de cardinal R o de P(R) o no es muy interesante su cardinal
Cuervo | Bién pero que N es ordinal no precisa del axioma de elección para demostrarse
Cuervo | por lo tanto es correcto decir que N es ordinal y cardinal
Cuervo | Pero decir que P(N) y R, tienen el mismo cardinal, es suponer primero que ese cardinal existe
Cuervo | o sea
Cuervo | A mi forma de ver
Cuervo | Es claro que N existe
Cuervo | Y que es ordinal y cardinal
Cuervo | Es claro que P(N) y R no tienen a N como ordinal ni cardinal
Cuervo | Porque no pueden biyectarse con N por el teorema de Cantor
Cuervo | Pero sin axioma de elección
Cuervo | Como decir que tienen ordinal o cardinal asociado
[ajotatxe] | para dar ese cardinal
Cuervo | Y aún más como decir que dicho cardinal és > N
[ajotatxe] | habría que dar una buena ordenación de R
Cuervo | justamente
Cuervo | Pero realmente, y con la mano en el corazón, tu crees que R puede bien ordenarse?
[ajotatxe] | no parece posible
[ajotatxe] | pero tampoco lo parece Q...
Cuervo | Pero en Q, puedes construir un buén orden
Cuervo | O mejor dicho
Cuervo | No puedes construirlo realmente
Cuervo | Pro puedes demostrar sin el axioma de elección ese buén orden existe
Cuervo | Por el teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein
[ajotatxe] | basta biyectar Q con N y "transportar" el orden de N
Cuervo | Bueno
[ajotatxe] | es más fácil que eso
Cuervo | Pero esa biyección no podrás concretarla realmente
[ajotatxe] | sí
Cuervo | Porque tienes un número infinito de pasos
Cuervo | Me comprendes?
Cuervo | Pero lo importante, es que en dicha demostración no usas el axioma de elección
Cuervo | Luego es constructiva
Cuervo | Te dice "como hacer la biyección en cuestión"
Cuervo | Cosa que es de lo que carecemos cuando usamos el axioma de elección
[ajotatxe] | 1/1 -1/1 1/2 -1/2 2/1 -2/1 1/3 -1/3 3/1 -3/1 1/4 -1/4 2/3 -2/3 4/1 -4/1 ...
[ajotatxe] | eso seguro que se puede expresar con una fórmula
[ajotatxe] | y hallar el elemento n-ésimo en un número finito de pasos
Cuervo | Eso es el proceso en diagonal de cantor no?
[ajotatxe] | no exactamente
Cuervo | Bueno
Cuervo | pero veamos
Cuervo | fijate
[ajotatxe] | pero es un proceso "diagonal", por así decir
Cuervo | Vale
Cuervo | Pero fijate en un detalle
Cuervo | para un número en concreto
Cuervo | el algoritmo puede tener un número muy grande de pasos pero no infinitos
Cuervo | en eso tienes razón
Cuervo | ahhhhh
Cuervo | Pero es que tenemos infinitos números concretos!!
Cuervo | Luego nunca acabarás la biyección
Cuervo | Me comprendes?
Cuervo | Para tener la biyección, necesitas las imagenes de todos los números
[ajotatxe] | bueno, y la biyección trivial f:N-->N
[ajotatxe] | f(n)=n
[ajotatxe] | le pasa igual
Cuervo | No de un número en particular
Cuervo | o sea, puedes obtener la imagen de un número cualesquiera en un número finito de pasos
Cuervo | Pero para obtener la biyección entera necesitas un número de pasos infinitos
Cuervo | claro
Cuervo | Bueno
[ajotatxe] | entonces entre dos conjuntos infinitos es imposible escribir una biyección como dices
Cuervo | vale
Cuervo | entiendo lo que quieres decir
Cuervo | Pero cuidado
Cuervo | En los casos que expones, el truco vale porque los pasos al ser finitos
Cuervo | son numerables
Cuervo | Ese procedimiento no te vale para un conjunto no numerable
[ajotatxe] | no, claro
Cuervo | Porque aunque usaras algo así como la inducción transfinita de ordinales, para demostrar que hay algún ordinal con una cantidad no numerable de elementos necesitarías el axioma de elección
[ajotatxe] | intuitivamente parece imposible dar un buen orden de algo que no sea numerable
Cuervo | O sea que eso te puede valer para N y Q, pero para R, el truco no funciona
[ajotatxe] | porque si todo subconjunto tiene un elemento mínimo
[ajotatxe] | habrá un primero
[ajotatxe] | si lo quitamos
[ajotatxe] | habrá un segundo, etc
[ajotatxe] | cuando quitemos tantos elementos como elementos tiene N
[ajotatxe] | nuestra mente es incapaz de ir más allá
[ajotatxe] | por lo menos la mía xD
Cuervo | fijate que si R fuera numerable
Cuervo | cualquier elemento de R podríamos considerarlo como elemento mínimo del conjunto que lo contiene a el solamente
Cuervo | o sea que tendríamos tantas cadenas infinitamente numerables en R, como elementos tiene R
Cuervo | o no?
Cuervo | perdón
Cuervo | Donde dice si R fuera numerable, quería decir, si R fuera bien ordenado
Cuervo | O sea
Cuervo | Me refiero, a que si R fuera bien ordenable
[ajotatxe] | pero si el conjunto sólo tiene un elemento
Cuervo | Para cada subconjunto no vacío de R
Cuervo | Tendríamos elemento mínimo
Cuervo | y como R es inductivo
Cuervo | para cada elemento tendríamos una cadena numerable de elementos incluida en R
Cuervo | No se si me explico
[ajotatxe] | a ver
Cuervo | jajajaj
[ajotatxe] | tomas un elemento x de R
Cuervo | Na que me he liado
[ajotatxe] | cómo construyes la cadena esa?
Cuervo | x+1
Cuervo | x+2
Cuervo | x+3
Cuervo | etc...
Cuervo | Pero a lo que me refiero
Cuervo | Es a que
Cuervo | todo subconjunto no vacío de R
Cuervo | tendría elemento mínimo
[ajotatxe] | pero la buena ordenación no garantiza que todo elemento sea mínimo de un subconjunto infinito
Cuervo | No
Cuervo | Pero todo conjunto infinito, tendría elemento mínimo
[ajotatxe] | sí
Cuervo | Pues yo es que no veo, como vas a ordenar R, de forma que eso suceda
[ajotatxe] | tenemos una aplicación f:P(R)-{vacío}--->R que nos da el mínimo
Cuervo | Es que me parece, casi en contradicción con la misma formación de R
[ajotatxe] | a mí me parece que no debe existir
Cuervo | bién
[ajotatxe] | pero no se ha demostrado
[ajotatxe] | si se demostrara, demostraríamos que el axioma de la elección es falso
Cuervo | pero para cualquier x , {x}€P(R) y x es el mínimo de {x}
[ajotatxe] | se ha demostrado que el axioma de elección + ZF es consistente si lo es ZF?
Cuervo | luego cualquier número real es mínimo al menos de algún subconjunto de R
Cuervo | El axioma de elección es indecidible, eso es lo que está demostrado
Cuervo | indecidible
Cuervo | igual que la hipótesis del continuo
Cuervo | Pero ahora centrémonos
Cuervo | Tu dices que tampoco te parece posible, que R pueda bien ordenarse
Cuervo | Pero como bien dices
[ajotatxe] | no, no me parece posible
Cuervo | Si R no puede bien ordenarse
[ajotatxe] | pero vamos, la intuición en matemáticas tiene un poder limitado
Cuervo | Entonces el axioma de elección se cae por los suelos
Cuervo | Y sin axioma de elección que pasa con los cardinales
Cuervo | Que desaparecen de la faz de la tierra
Cuervo | O
Cuervo | Que hay que definirlos de otra forma
Cuervo | En base a algún lema, más creíble o menos fuerte que el axioma de elección
Cuervo | Como el lema de ultrafiltros o similares
Cuervo | o sea
Cuervo | por una parte el teorema de cantor
Se puede evitar definir cardinal
Cuervo | Demuestra no solo que N no puede biyectarse con P(N)
Cuervo | En realidad es fácil demostrar que N no puede biyectarse tampoco con P(P(N)) o con P(P(P(N))))
Cuervo | Es decir que cada potencia es una nueva biyección
Cuervo | Pero para establecer un orden entre biyecciones
Cuervo | O para definir cardinal a partir del concepto de conjunto
Cuervo | necesitamos o el axioma de elección
[ajotatxe] | se puede probar que X no es biyectable con P(X), siendo X cualquier conjunto, finito o infinito
Cuervo | o algo que todavía no hemos inventado
Cuervo | Bien
Cuervo | pero
Cuervo | Es que
Cuervo | Que és un cardinal?
[ajotatxe] | una manera de abordar ese tema
[ajotatxe] | que he visto
[ajotatxe] | es no definir cardinal
[ajotatxe] | sino definir la relación "tener mayor cardinal que"
[ajotatxe] | sin decir nada sobre qué es un cardinal
Cuervo | Bien
[ajotatxe] | algo así como hace ZF con los conjuntos
[ajotatxe] | así, la expresión |X|<=|Y| tiene sentido
Cuervo | Pero aún así, si los conjuntos no son numerables, no puedes demostrar sin el axioma de elección que card(P(n))>card(N), no es cierto?
[ajotatxe] | pero la expresión |X| por sí sola no
[ajotatxe] | sí, sí que puedes
[ajotatxe] | si X es un conjunto
[ajotatxe] | y f:X-->P(X) una biyección
[ajotatxe] | en particualr f será sobreyectiva
[ajotatxe] | sea A={x€X:x no está en f(x)}
[ajotatxe] | sea a un elemento tal que f(a)=A
[ajotatxe] | si a€A entonces a no está en f(a)=A, contradicción
Cuervo | a ver
[ajotatxe] | y si a no está en A, entonces a está en f(a)=A, contradicción
Cuervo | con eso demuestras que X y P(X) no pueden biyectarse
Cuervo | Pero eso demuestra que card(P(X))>X?
Cuervo | osea
[ajotatxe] | de hecho demuestro que no existe una aplicación sobreyectiva de X en P(X)
[ajotatxe] | por otro lado es claro que existe una inyectiva, f(x)={x}
[ajotatxe] | así que card(X)<card(P(X))
Cuervo | ummmm
Cuervo | osea
Cuervo | no hay biyección
[ajotatxe] | no
Cuervo | hay inyección
[ajotatxe] | eso es
Cuervo | pero no hay sobreyección
Cuervo | si hay biyección entonces =
Cuervo | si hay sobreyección entonces >=
Cuervo | y si hay inyección entonces <=
[ajotatxe] | eso es
Cuervo | Eso quieres decir no?
[ajotatxe] | sí
Cuervo | Bueno
Cuervo | Eso quiere decir, que de esta forma
Cuervo | Dos cardinales particulares siempre serían comparables
Cuervo | Pero en general no podríamos hacerlo
Cuervo | Eso quieres decir no?
Cuervo | perdón
[ajotatxe] | sí, para el caso en que los conjuntos sean X y P(X) son comparables
[ajotatxe] | pero no en el caso general
Cuervo | o X y otro conjunto biyectable con P(X) digamos
[ajotatxe] | sin axioma de elección, es posible que haya dos conjuntos X,Y entre los cuales no existe aplicación sobre ni inyectiva
Cuervo | ummmm
Cuervo | A ver
[ajotatxe] | de hecho, negar el axioma de elección es afirmar la existencia de ese tipo de conjuntos
Cuervo | sin axioma de elección puede ser que entre dos conjuntos no podamos establecer aplicación alguna quieres decir?
[ajotatxe] | no
[ajotatxe] | puede haber aplicaciones, pero puede que ninguna sea sobreyectiva ni inyectiva
Cuervo | ammmmm
[ajotatxe] | si X e Y son no vacíos siempre habrá aplicaciones, en particular las constantes
Cuervo | osea
Cuervo | lo que quieres decir es que pueden existir dos conjuntos X e Y
Cuervo | Para los cuales no haya ninguna aplicación inyectiva ni sobre
[ajotatxe] | eso
Cuervo | Pues mira
Cuervo | Es la aproximación al concepto de cardinalidad que más me convence
Cuervo | Lo único que no veo claro
Cuervo | es que sentido puede tener decir que card(P(x))>card(X), cuando card(P(X)) o card(X) no tiene sentido por si mismo
Cuervo | Dicho de otra manera, no deberían definirse todos los conceptos de los que hablamos a partir del concepto primitivo del que hablamos para ser rigurosos?
Cuervo | o sea
Cuervo | Si queremos comparar cardinales, caray, parece indispensable definir lo que és un cardinal
Cuervo | O si no que estamos comparando por decirlo de alguna forma?
Cuervo | jajaja
Cuervo | Que lío
Cuervo | yammmm
Cuervo | Yo creo que
Cuervo | lo mejor sería
Cuervo | Prescindir del concepto de cardinal
Cuervo | y decir algo así como
Cuervo | A>B, quiere decir que entre B y A, puede haber aplicaciones inyectivas, pero nunca biye ni sobre, mejor así no?
Cuervo | Sí claro
Cuervo | Tal como lo dices
Cuervo | Lo mejor es decir que cardinal es un concepto vacío
[ajotatxe] | un momento
Cuervo | Y lo que importa es simplemente la existencia de biyecciones, inyecciones y sobreyecciones entre conjuntos o la ausencia de ellas
Cuervo | Sí, me gusta
Cuervo | Me parece más creíble
[ajotatxe] | ya he vuelto
Cuervo | saludos de nuevo
[ajotatxe] | bueno
Cuervo | Está bien lo que has expuesto
[ajotatxe] | decimos que x pertenece al conjunto X
[ajotatxe] | y no decimos qué es pertenecer
[ajotatxe] | ni qué es un conjunto, y no pasa nada
Cuervo | Bueno
Cuervo | Bueno
Cuervo | Pero a ver
Cuervo | En ZF hay un solo concepto primitivo el de conjunto y una sola relación no definida, la de pertenencia. En Gödel-Von Nemann la misma relación y el nuevo concepto no definido de clase, definiendo conjunto como una clase que pertenece a otra clase
Cuervo | Pero la idea tuya bien pensada es buena
[ajotatxe] | bueno, no es idea mía
Cuervo | Yo creo que no se trata de introducir el concepto de cardinal como concepto no definido
Cuervo | Yo creo que más bien se trata de decir que no necesitamos dicho concepto para definirlo
Cuervo | Es decir
Cuervo | Nos basta decir que A=B
Cuervo | Quiere decir que dos conjuntos son biyectables
Cuervo | Que A=>B quiere decir que existe alguna aplicación biyectiva o exahustiva entre A y B
Cuervo | Y así sucesivamente
Cuervo | De esta forma
Cuervo | Como lo que es una aplicación ya lo tenemos definido
Cuervo | Para que necesitamos el concepto de cardinal no?
Cuervo | O sea sin axioma de elección no tenemos cardinales
Cuervo | Pero ni falta que nos hacen !!
Cuervo | jajaja
[ajotatxe] | se me ocurre decir que los números naturales, y el propio N son cardinales, y que si A es un cardinal infinito entonces P(A) también lo es
Cuervo | No?
[ajotatxe] | ahora, si la hipótesis del continuo es falsa
[ajotatxe] | éstos son todos los cardinales que hay
[ajotatxe] | no hacen falta más
[ajotatxe] | falsa o cierta, no recuerdo
Cuervo | Bueno
Cuervo | También está bien pensado
Cuervo | Solo que habría cardinales que a la vez serían ordinales y otros como P(N) que no lo serían
Cuervo | Pero bueno
Cuervo | Quiero decir que los números naturales y el propio N serían ambas cosas, pero obviamente ni P(N), ni los sucesivos serían ordinales
Cuervo | Con lo cual
Cuervo | P(N) no puede bien ordenarse!!
Cuervo | Me encanta!!
Cuervo | jajaja
Cuervo | No está mal pensado, no
Cuervo | Aunque para rematar
Cuervo | A mi lo que me gustaría
[ajotatxe] | acabo de ver que la hipótesis del continuo no se puede probar ni refutar ni siquiera con el axioma de elección
Cuervo | Es que encontráramos una propiedad común a los naturales, N , P(N) y sucesivos
Cuervo | Cierto, ya te dije que es indecidible
Cuervo | La hipotesis del continuo digo
[ajotatxe] | demostrado por Gödel (la refutación) y por Paul Cohen (la prueba)
Cuervo | Bueno Godel demostró que no se puede demostrar su afirmación a través de los axiomas, y cohen que tampoco puede refutarse a partir de los axiomas digamos
Cuervo | ummmm
Cuervo | Pues no veo que propiedad común puedan tener los naturales , N , P(N) y sucesivos
[ajotatxe] | cada uno de ellos tiene una inyección canónica en el siguiente
[ajotatxe] | eso es claro
Cuervo | Sí eso sí
Cuervo | Aunque N , no es el siguiente de nadie
Cuervo | ummm
Cuervo | P(0)={0}
Cuervo | p({0})={0,{0}}
Cuervo | No
Cuervo | Ahí ya se dispara la cosa
[ajotatxe] | el siguiente tiene 4
Cuervo | Sí
Cuervo | O sea me gusta la idea, pero no veo una definición clara como la de un ordinal que podamos asociarla
[ajotatxe] | por cierto, lo de que |X|<|P(X)| se puede usar para probar que n<2^n para n natural
Cuervo | cierto
Cuervo | Bueno y escrito así, para n transfinito también no?
[ajotatxe] | un argumento de lógica pura para una relación aritmética
[ajotatxe] | sí, claro
Cuervo | Bueno
Cuervo | me gusta tu idea, solo que
[ajotatxe] | pero es que para n transfinito, 2^n se define a propósito como el "cardinal" de P(n)
Cuervo | Por eso lo digo
[ajotatxe] | sí, se produce una especie de "corte" en P(N)
Cuervo | Bueno
Cuervo | se producen dos cortes
Cuervo | uno en N
Cuervo | y otro en P(N) y sucesivos
Cuervo | o sea
Cuervo | tenemos dos cardinales límite el 0 y N
Cuervo | Y dos formas distintas de definir sucesores, según sean finitos o infinitos digamos
Cuervo | Tampoco está claro que no haya cardinales intermedios, como bien dices ni que haya otros cardinales límite
Cuervo | O sea
Cuervo | Me gusta la idea
Cuervo | Solo que si al final optamos por acabar definiendo de alguna forma un cardinal
Cuervo | La definición es algo extraña
Cuervo | Dicho de otra forma
[ajotatxe] | lo cierto es que todos los conjuntos cuyo cardinal se conoce son conjuntos biyectables con alguno de los que he dicho
Cuervo | No dices lo que un cardinal es
[ajotatxe] | creo
Cuervo | en eso de acuerdo
Cuervo | La idea es buena
Cuervo | pero ahora bien
Cuervo | A ver
Cuervo | Bueno, en resumidas cuentas
Cuervo | Pones un representante canónico para cada colección de conjuntos biyectables que conocemos
Cuervo | Que en el caso de los numerables coinciden con los naturales y N, y en el caso de los no numerables que conocemos pues con P(N) y sucesivos y no conocemos más
Cuervo | Y como P(N) no es ordinal, no puede bien ordenarse
Cuervo | Vale, vale
[ajotatxe] | bueno
Cuervo | Me estás convenciendo
[ajotatxe] | creo que el conjunto de funciones de R en R
[ajotatxe] | es biyectable con P(R)
[ajotatxe] | aunque la verdad no he visto nunca una prueba
[ajotatxe] | respecto al cardinal de ciertas clases de funciones
[ajotatxe] | las continuas, por ejemplo, o las integrables, etc
Cuervo | ummmmm
[ajotatxe] | ni idea
Cuervo | Yo diría que por ejemplo el conjunto de las funciones continuas en un intervalo de la recta real, determina un espacio de infinitas dimensiones que no puede biyectarse con P(N)
Cuervo | Aunque tampoco he visto ninguna prueba
Cuervo | Pero apostaría que puede biyectarse con P(P(N)), aunque eso es una suposición
Cuervo | :))
Cuervo | Ahora se me ocurre una pregunta
Cuervo | Supongamos que construimos los cardinales de esta forma u otra parecida a esta
Cuervo | Crees que sin axioma de elección podemos encontrar algún ordinal no numerable?
Cuervo | O los ordinales estarían condenados a los conjuntos numerables por toda le eternidad?
[ajotatxe] | pero cómo definiríamos ordinal?
Cuervo | Bueno
Cuervo | Yo creo, que para los ordinales la definición de Von Nemann és perfecta
Cuervo | Ahí no le veo fallo
Cuervo | o sea
Cuervo | upsss
Cuervo | Solo que
Cuervo | hay un problema
Cuervo | Ahora que lo pienso
Cuervo | Resulta que tal como hemos definido cardinales
Cuervo | la relación A>B, no representa lo mismo si se trata de ordinal o si se trata de un cardinal
Cuervo | Osea
Cuervo | Si se trata de un cardinal
Cuervo | A>=B
Cuervo | querrá decir que existe una sobre o una bi de A en B
Cuervo | pero ninguna in
[ajotatxe] | no
[ajotatxe] | A>=B significa simplemente que existe una sobre
Cuervo | no porque si existe una sobre pero no una bi ni una in sería A>B
[ajotatxe] | eso es
Cuervo | osea que A>=B será que existe una sobre o una bi no?
[ajotatxe] | si A>=B y B>=A entonces, por el teorema que mencionaste antes, A=B
Cuervo | Bueno
Cuervo | Pero a lo que yo iba es
Cuervo | vale
Cuervo | Pero
Cuervo | a lo que yo iba
[ajotatxe] | es que si existe una bi, existe una sobre, la bi
Cuervo | Es que
Cuervo | si A>=B
Cuervo | y A y B son ordinales
Cuervo | el significado es otro
[ajotatxe] | ah
Cuervo | Lo que significa es que A=B o B€A
Cuervo | O sea que la relación de orden entre ordinales y cardinales no es la misma
Cuervo | Aunque por suerte para nosotros
Cuervo | coincide en los naturales y N
Cuervo | Que es lo que necesitamos
Cuervo | Que opinas de lo que digo sobre el orden [ajotatxe]?
Cuervo | Porque a ver tú como defines un ordinal [ajotatxe]?
[ajotatxe] | estoy leyendo el artículo de ordinales de la wiki, porque no estoy muy puesto en el tema
[ajotatxe] | en la carrera no se ven estas cosas
Cuervo | Si quieres te digo como los define Von Nemann que es la definición que siempre he usado
RadiKal2_ | veo que habéis seguido hablando de conjuntos xD
[ajotatxe] | ya la he visto, la definición
[ajotatxe] | lo cierto es que como nunca he usado los ordinales para nada
Cuervo | Sí, estoy abusando de la paciencia de [ajotatxe], pero esta valiendo la pena, estamos forjando algo así como una teoría de cardinales, sin axioma de elección, y ahora estamos pegando fuego a los ordinales
Cuervo | A ver, que definición has visto [ajotatxe]?
[ajotatxe] | no sé muy bien cómo es deseable que sean
Cuervo | Hombre tanto como para nada
RadiKal2_ | vaya tela xD
Metaleer | O_o
RadiKal2_ | y cómo definís cardinal?
Cuervo | A ver
Cuervo | la idea básica és que un conjunto A es mayor que otro conjunto B
Cuervo | Si B es parte de A
Cuervo | Es decir si B está incluido en A
Cuervo | o bién si B€A
[ajotatxe] | la definición de Von Neumann es que S es un ordinal si es totalmente ordenado para la inclusión y todo elemento de S es también un subconjunto de S
Cuervo | Correcto
Cuervo | Alguna otra definición que no sea esa?
[ajotatxe] | [RadiKal2_ ] a mí se me ha ocurrido decir que los cardinales son, cada uno de los números naturales, el propio N y luego afirmo que si A es un cardinal infinito entonces P(A) es un cardinal (también infinito, por supuesto)
RadiKal2_ | esa definición es equivalente a la de transitiva verdad?
Cuervo | Sí RadiKal2_, muy bién, son definiciones equivalentes
Cuervo | Es la definición de Von nemann de los ordinales
RadiKal2_ | [ajotatxe] pues si, me gusta esa definición
[ajotatxe] | bueno, me tengo que marchar, pero dejaré el irc abierto
Cuervo | Bueno, lo mejor de la definición de [ajotatxe], es que no necesita del axioma de elección, lo hemos estado demostrando antes
RadiKal2_ | también se me ocurre que se podrían definir los cardinales como clases de equivalencia
Cuervo | A parte de que no implica que R tenga un buen orden
[ajotatxe] | [ RadiKal2_] el problema es que no puedes hacer clases de equivalencia en el conjunto de todos los conjuntos
RadiKal2_ | aja
RadiKal2_ | mmm
[ajotatxe] | porque el conjunto de todos los conjuntos no existe
Cuervo | Una cosa antes de irte [ajotatxe]
RadiKal2_ | ya me imaginaba que daría problemas lo de la relación de equivalencia
RadiKal2_ | claro
RadiKal2_ | es una clase de esas no?
[ajotatxe] | de eso no sé nada
Cuervo | Según tu definición, podría suceder que algún conjunto no tuviera ningún cardinal asociado no?
[ajotatxe] | si negamos la hip. del continuo sí
Cuervo | Bien, vale, era para aclarar ideas
Cuervo | Gracias, por la charla, ha sido muy interesante
[ajotatxe] | lo que no sé
[ajotatxe] | es
[ajotatxe] | a ver
[ajotatxe] | la hip. del continuo dice que no hay nada entre alef_0 y alef_1
Cuervo | sí
[ajotatxe] | pero no afirma lo que ocurre entre alef_1 y alef_2
Cuervo | Bueno para eso han inventado, la hipótesis generalizada del continuo
Cuervo | Que ya puedes ver lo que afirma no?
Cuervo | :))
RadiKal2_ | jajaja se lo inventan todo
[ajotatxe] | ah, vale
Cuervo | Que no es broma eh
RadiKal2_ | bueno, pero la hipótesis del continuo es indecidible no?
[ajotatxe] | y la generalizada
Cuervo | Es en serio
Cuervo | Sí, es indecidible, ambas lo son claro
Cuervo | Ahí el problema
[ajotatxe] | es para aleph_n siendo n natural o siendo n cualquier ordinal?
Cuervo | Pasa como con el axioma de elección
RadiKal2_ | anda
RadiKal2_ | hay aleph_N¿¿?¿?
[ajotatxe] | por qué no?
RadiKal2_ | nunca se me habia ocurrido
RadiKal2_ | pero es cierto xD
Cuervo | Pues eso no lo se, pero yo diría que para naturales
RadiKal2_ | si ya es interesante ya, eso de los conjuntos
[ajotatxe] | bueno, lo cierto es que no tengo claro que se pueda considerar el conjunto PPPP...(N)
Cuervo | Porque fijate
Cuervo | El axioma de las partes lo puedes repetir muchas veces, pero siempre una cantidad finita de veces no?
Cuervo | Osea que no tendría sentido que n=N
[ajotatxe] | sí, no está nada claro que exista eso
Cuervo | Porque ahí te has pasado en la aplicación de los axiomas
Cuervo | Lo dicho
Cuervo | Para un natural
[ajotatxe] | bueno, hasta otra
Cuervo | hasta la vista [ajotatxe]
RadiKal2_ | bye [ajotatxe]
Cuervo | Bueno
Cuervo | Pues con la definicón de [ajotatxe]
Cuervo | No necesitamos ningún ordinal no numerable
Cuervo | pero a cambio pueden existir conjuntos que no tengan cardinal
Cuervo | Es el precio de la gloria
Cuervo | jajaja
RadiKal2_ | mm claro
RadiKal2_ | pero de todas formas
RadiKal2_ | si existen conjuntos que no tengan cardinal (con esa def.)
RadiKal2_ | nunca lo sabras :)
Cuervo | Bueno
Cuervo | A ver
Cuervo | Con esa definición
Cuervo | Decir que un conjunto no tiene cardinal
Cuervo | Equivale a decir, que no puede biyectarse con ninguno de los conjuntos que hemos considerado cardinales
RadiKal2_ | claro
RadiKal2_ | por eso
Cuervo | Yo en realidad lo que creo, es que todavía podríamos ser más radicales
RadiKal2_ | como?
Cuervo | Para que necesitamos definir el concepto de cardinal?
Cuervo | Osea
Cuervo | Tenemos definido el concepto de aplicación, y de inyección, biyección y sobreyección
RadiKal2_ | si
Cuervo | entonces
Cuervo | decir que dos conjuntos tienen el mismo cardinal es decir que existe una aplicación biyectiva entre ambos
Cuervo | pues entonces digamos eso directamente, para que inventar un concepto nuevo?
Cuervo | El otro problema
RadiKal2_ | joder
RadiKal2_ | pero
RadiKal2_ | esa es la definicion "estandar" no?
Cuervo | A ver
RadiKal2_ | el problema de eso es que no es una definicion de cardinal, es una definición de "igualdad" entre cardinales
Cuervo | pero el problema está en decidir que sentido tiene que card(A)>card(B)
Cuervo | pero es que para que necesitas definir un cardinal digo yo?
RadiKal2_ | pues si hay una aplicacion inyectiva de B en A por ejemplo
Cuervo | ummmm
RadiKal2_ | podriamos decir que card(B)<=card(A)
Cuervo | A ver
RadiKal2_ | no?
Cuervo | Es que no se si me explico
Cuervo | por ejemplo
Cuervo | Si yo te digo
Cuervo | A>B, que sentido le damos a eso?
RadiKal2_ | mmm
Cuervo | Para mi eso querrá decir
RadiKal2_ | pasar de los cardinales y decir directamente "un conjunto es mayor que otro" o que?
Cuervo | Sí
Cuervo | Aunque hay que tener cuidado
Cuervo | Si es que nos referimos al orden o a la cantidad
RadiKal2_ | claro, el problema que le veo
RadiKal2_ | es un conflicto de notaciones
Cuervo | porque A>B no significará lo mismo en ambos casos
RadiKal2_ | porque por ejemplo A=B debería significar tiene los mismos elementos, o tienen el mismo cardinal según el caso
RadiKal2_ | pero eso se puede apañar
Cuervo | Vale
Cuervo | pero ahora supongamos que nos referimos a la cantidad
Cuervo | Que significará que A>B?
RadiKal2_ | bien
Cuervo | Se te ocurre?
RadiKal2_ | pues yo lo haría que exista una funcion inyectiva de B en A, y que no exista biyeccion, por ejemplo
RadiKal2_ | no se me ocurre nada mejor
Cuervo | vas bien
Cuervo | aunque yo diría más bien que exista una inyectiva de B en A y que no exista sobreyección más bién
Cuervo | pero bueno
RadiKal2_ | claro, bueno, viene a ser lo mismo
Cuervo | pero fíjate
Cuervo | no has necesitado el concepto de cardinal para nada
Cuervo | solo has necesitado saber que es una aplicación
Cuervo | y si es in bi o sobreyectiva
RadiKal2_ | si
Cuervo | Entonces para que introducir un concepto nuevo?
RadiKal2_ | bueno, supongo que es porque es mas corto decir
RadiKal2_ | "tiene cardinal aleph_0"
RadiKal2_ | que decir
RadiKal2_ | "existe una biyeccion con N"
Cuervo | Bueno, yo el problema más serio
RadiKal2_ | pero tienes razón, en realidad se podría prescindir de los cardinales
Cuervo | Lo veo en que cuando de cardinales se trata definimos el orden de una forma, y para ordinales de otra, y no sé si eso es del todo correcto
Cuervo | o sea
Cuervo | Que sin darnos cuenta
RadiKal2_ | si
Cuervo | Aun sin mencionarlos, estamos diciendo que en un caso hablamos de ordinales y en otro de cardinales
Cuervo | o sea
RadiKal2_ | hombre, se podrían crear dos "ordenes", uno para hablar de cardinales y otro de ordinales
RadiKal2_ | pero
RadiKal2_ | no se que es peor
Cuervo | decía que la idea de [ajotatxe] no está mal
Cuervo | Pero imagina que tenemos una colección de conjuntos que se pueden biyectar entre sí
Cuervo | Pero que no pueden biyectarse con ninguno de los cardinales de [ajotatxe]
RadiKal2_ | aja
Cuervo | entonces, esos conjuntos no tendrían cardinal?
Cuervo | O cual sería su cardinal
RadiKal2_ | con la definicion de [ajotatxe] esta claro que no
RadiKal2_ | si se pueden biyectar entre ellos pero
RadiKal2_ | no se pueden
RadiKal2_ | ni con N
RadiKal2_ | ni con ningunas partes
RadiKal2_ | pues no hay cardinal
RadiKal2_ | ese es un problema
Cuervo | Ese es uno
Cuervo | Bueno
Cuervo | Es que en resumidas cuentas
Cuervo | La definición de ordinal si parece correcta
Cuervo | Lo que no está claro es que debemos entender por cantidad de elementos de un conjunto o cardinalidad
Cuervo | cuando de conjuntos no numerables se trata
Cuervo | Porque claro
Cuervo | si definimos un cardinal de la forma clásica es decir como cierto tipo de ordinal
Cuervo | necesitamos el axioma de elección
Cuervo | y que todo conjunto tenga un ordinal asociado
Cuervo | pero si el conjunto no es numerable
Cuervo | y prescindimos del axioma de elección
Cuervo | no es claro que dicho conjunto tenga ningún cardinal, ni ningún ordinal asociado
Cuervo | Lo del ordinal no parece tan grave
Cuervo | porque decir que R no puede bien ordenarse, no te hace desesperar
Cuervo | incluso me gusta
Cuervo | pero claro decir que R no tiene una cantidad de elementos determinada
RadiKal2_ | pero un momento
Cuervo | Eso dime
RadiKal2_ | cual es la definicion clasica de cardinal?
Cuervo | La de Von Nemann
Cuervo | Un cardinal sería según esa definición
Cuervo | Un ordinal que no puede biyectarse con ninguno de sus elementos
Cuervo | Se ve fácilmente que los naturales y N de esta forma son cardinales
Cuervo | Pero claro
Cuervo | El problema es que P(N), no es ni siquiera ordinal
Cuervo | O sea que el ordinal y el cardinal de partes de N, si existen no sabremos cuales son
Cuervo | Y deben existir ambos
RadiKal2_ | buf
Cuervo | Y ahí entra en juego el axioma de elección
Cuervo | El axioma de elección, es algo así como decir, todo conjunto tiene un ordinal y cardinal asociados que además son únicos
Cuervo | Y con los que pueden biyectarse
RadiKal2_ | ya
Cuervo | Pero claro, eso es mucho decir, cuando no tenemos ni idea siquiera del de P(N) no te parece?
RadiKal2_ | si...
RadiKal2_ | es que esto del axioma de elección
RadiKal2_ | es bastante problemático
RadiKal2_ | aunque hoy en día esta bastante aceptado no?
Cuervo | A ver
Cuervo | Digamos que hay cosas que se demuestran con el axioma de elección
Cuervo | Que parecen correctas
Cuervo | Y otras que parece que no pueden ser
Cuervo | Es como si necesitáramos algo parecido a dicho axioma
RadiKal2_ | como por ejemplo?
Cuervo | A ver
Cuervo | Por ejemplo
Cuervo | ummmm
Cuervo | Decir que R puede bien ordenarse
Cuervo | Quiere decir que puedes dotar a R de una relación de orden total
RadiKal2_ | ah si, el principio del buen orden ese
Cuervo | En la que todo conjunto no vacío de R tenga elemento mínimo
RadiKal2_ | si, eso es bastante... raro
RadiKal2_ | estoy de acuerdo
Cuervo | A mi eso me parece raro
Cuervo | Pero es que la cosa es peor
Cuervo | Porque también debería suceder lo mismo no solo con R
Cuervo | Sino con P(R)
Cuervo | o P(P(R))
RadiKal2_ | con todo conjunto no?
Cuervo | O cualquier infinito que puedas imaginar
Cuervo | Eso es
Cuervo | Eso es lo que quiere decir que todo conjunto tiene un ordinal asociado en definitiva
RadiKal2_ | si, eso es muy raro
Cuervo | Por otra parte
Cuervo | Hay teoremas como el de Hans-Banach que necesitan para su demostración del lema de Zorn, que es equivalente al axioma de elección, que no parecen tan disparatados
Cuervo | Entonces
RadiKal2_ | ese es el de
Cuervo | Es como si con el axioma de elección
RadiKal2_ | la esfera que se parte en 2?
Cuervo | dime
Cuervo | no
Cuervo | Ese si no recuerdo mal, es el que afirma que entre dos espacios normados, existe alguna aplicación continua
RadiKal2_ | ah no, aquel es de Banach-Tarsky
RadiKal2_ | me he confundido, como también salia el banach
Cuervo | Pero bueno, el de la esfera es otro que tal
RadiKal2_ | si, también es muy raro
RadiKal2_ | xD
RadiKal2_ | pero bueno
Cuervo | O también piensa que con el axioma de elección se demuestra, que todo espacio vectorial tiene una base, cosa que cuando se trata de espacios de infinitas dimensiones, no es para nada, para nada, algo obvio
RadiKal2_ | ya
RadiKal2_ | pero de todas formas
RadiKal2_ | aunque estas cosas sean raras y poco intuitivas... tampoco puedes decir que no sean así
Cuervo | No puedes decir nada, porque el axioma de elección, es indecidible, al menos en las axiomáticas que manejamos hoy en día
RadiKal2_ | hombre, por eso es axioma
Cuervo | Pero ojo, tampoco quiere decir que en un futuro sea decidible con otras
RadiKal2_ | ya
RadiKal2_ | de todas formas, ya esta bastante arraigado el axioma de elección
Cuervo | pero sobretodo, lo que yo creo es que si el axioma de elección representa alguna implicación mesurable en la realidad física, en última instancia será cierto o no, no se si me explico
RadiKal2_ | como para cargárselo por las buenas
Cuervo | No te creas
Cuervo | fíjate en una cosa
Cuervo | Los matemáticos lo usan solo si no tienen otro remedio
RadiKal2_ | jajaja
Cuervo | Es más, siempre buscan demostraciones alternativas a las que usan ese axioma siempre que pueden
Metaleer | [ Cuervo ] por curiosidad, qué estudias?
Metaleer | Porque parece que dominas del tema.
Cuervo | Bueno no estudio matemáticas en realidad, pero siempre sentí curiosidad por ellas
Cuervo | Y he leído bastante
Cuervo | Sobre lógica y sistemas formales
Metaleer | Pero esto que sabes sólo lo sabes por autodidáctica?
Cuervo | Sí, pero piensa que un buen libro a veces es el mejor aliado para entender algo
RadiKal2_ | oye Cuervo
Cuervo | dime
Metaleer | Cierto.
RadiKal2_ | recomiéndame un buen libro sobre logica/teoría de conjuntos
Cuervo | Yo lo que tengo son pdf que me he bajado de algunas webs
Cuervo | De universidades y webs sobre matemáticas
RadiKal2_ | aja
Cuervo | Pero si quieres un buen libro de divulgación sobre el tema
dj_jara ¦ el ivorra no tiene algo sobre logica?
Cuervo | El Ivorra tiene 2
RadiKal2_ | [ dj_jara ] eso me lo leí en su dia
RadiKal2_ | la parte de lógica
RadiKal2_ | xDDD
Cuervo | Pero ojo, que son espesitos, espesitos
RadiKal2_ | pero ya no me acuerdo mucho
RadiKal2_ | si
RadiKal2_ | los del ivorra tiene mucha tela
Cuervo | Para empezar no os los recomendaría los de Ivorra
Cuervo | No pero te decía
Cuervo | Que yo de ti me leía un libro que fue un best-seller por ahí los años 76
Cuervo | Que no es super formal, pero es muy interesante
Cuervo | El de Godel-Escher-Bach un eterno y grácil bucle
RadiKal2_ | ahh
RadiKal2_ | si, he leído cosas buenas sobre ese libro
RadiKal2_ | pero es un tocho impresionante xD
Cuervo | Sí pero es realmente bueno
Cuervo | Y no es excesivamente formal
RadiKal2_ | este verano que no tendré nada que hacer quizá me lo pille
dj_jara ¦ pero ese libro se puede leer? yo creía que era para hacer pesas... xD
Cuervo | jajaja
Cuervo | De todas formas
Cuervo | Yo siempre digo una cosa
Cuervo | Si Cantor se volvió loco por el teorema de indecidibilidad de Gödel
Cuervo | Gödel se volvió loco, porque intentó escapar del conjunto de todos los conjuntos con las clases, pero ...., la clase de todas las clases no es una clase
Cuervo | O dicho de otra forma
RadiKal2_ | jajajajaja
dj_jara ¦ xDD
Cuervo | No hay sistema axiomático que aguante el paso del tiempo
Cuervo | Ni objeto primitivo, que resista
Cuervo | O sea que
Cuervo | Si la realidad puede expresarse con un lenguaje, la realidad misma, como el lenguaje que la expresa tiene infinitas cadencias
Cuervo | Podríamos resumirlo todo en esta conclusión
RadiKal2_ | ya
Cuervo | Pero entendámonos bien, eso no quiere decir que no podamos hacer nada
Cuervo | Solo quiere decir, que la perfección no existe
Cuervo | Que siempre tendremos aproximaciones a la realidad, y retazos de su lenguaje implícito
Cuervo | Pero bueno, caray, mejor eso que nada
RadiKal2_ | jaja
RadiKal2_ | si
Cuervo | Solo que acojona
RadiKal2_ | aunque las matemáticas no necesariamente tienen que ver con la realidad
Cuervo | Bueno
Cuervo | En mi opinión las matemáticas si tienen que ver con la realidad
Cuervo | Fíjate en una cosa
Metaleer | Cuervo, yo opino que es una abstracción mental que se le aplica a la realidad.
Cuervo | Consideras que los axiomas de la teoría de conjuntos son realidades obvias?
RadiKal2_ | hombre, si
Metaleer | Hombre, por eso se llaman axiomas, no?
Metaleer | Porque son evidentes...
Cuervo | A ver
Cuervo | Consideras evidente que dado un conjunto existe un conjunto que tiene por elementos a todos los elementos de dicho conjunto?
Metaleer | Pero no realidades... sino yo pienso que es lo más "obvio" dentro de lo que es la abstracción que es capaz de realizar la mente humana.
Cuervo | O que dado un conjunto existe un conjunto que tiene por elementos a los elementos de sus elementos?
Cuervo | A ver
Cuervo | Tal como yo lo veo
Cuervo | Para mi
Cuervo | Lo importante de los axiomas
Cuervo | Es que con unas pocas ideas fundamentales
Cuervo | Nos permiten construir unos conceptos matemáticos
Cuervo | Que aplicados luego por ejemplo a la física, obtienen resultados
Cuervo | Luego
Metaleer | Si.
Cuervo | En realidad para mi el proceso de un matemático tiene dos caras
Cuervo | Una lógica
Cuervo | Pero otra de un empirismo evidente y un proceso de síntesis
RadiKal2_ | si... pero hay mucha matemática y no toda se aplica a la física
Cuervo | Yo diría que las matemáticas son un puente entre la realidad pura y dura, y la lógica sin más
RadiKal2_ | buf
RadiKal2_ | no se no se
RadiKal2_ | xD
Cuervo | Pero una realidad matemática para mi no es solo un juego lógico
Cuervo | Pi no nos lo inventamos
RadiKal2_ | hombre
Cuervo | Nos lo encontramos al intentar medir el área de un circulo de radio unidad
RadiKal2_ | las matemáticas surgieron de la realidad, esta claro
Cuervo | Eso es
Cuervo | Las matemáticas usan la realidad y la lógica
Cuervo | o dicho de otra manera
Cuervo | usamos la lógica
Cuervo | pero nadie se tomará enserio un sistema axiomático en el que 2+2 no sean 4
Cuervo | Comprendes lo que quiero decir?
RadiKal2_ | jajaja
RadiKal2_ | si
RadiKal2_ | si si
RadiKal2_ | estoy de acuerdo, al menos en parte
Cuervo | Pues en este sentido te decía
Cuervo | Que si realmente la hipótesis del continuo tiene alguna realidad física constatable
Cuervo | Al final será cierta o no lo será
Cuervo | y si no tiene realidad física
Cuervo | dejará de ser materia de estudio
Cuervo | De momento eso es algo por decidir
Cuervo | Pero no quiere decir que en un futuro no se decida
Cuervo | Bueno
Cuervo | Y a todo esto
Cuervo | Que yo me tengo que ir a cenar ya
RadiKal2_ | jejeje
RadiKal2_ | ok
RadiKal2_ | pues
RadiKal2_ | muchas gracias por la charla
Cuervo | Ha sido un placer, espero verlos otra vez
RadiKal2_ | he aprendido bastante
RadiKal2_ | venga, que aproveche